|
§ 9.
Аксиоматизируемые классы.
Обозначим через К класс всех алгебраических систем
сигнатуры Класс
К алгебраических систем сигнатуры назовем аксиоматизируемым, если
существует элементарная теория Т (К) сигнатуры
есть семейство всех моделей теории Т(К). Система аксиом для теории Т(К)
называетсясистемой аксиом для К.
Класс К называется конечно
аксиоматизируемым, если существует конечная
система аксиом для К. Класс К называется универсально аксиоматизируемым,
если существует система аксиом для К,
состоящая из " -формул.
Алгебраические системы из класса К будем
называть К-системами. К-подсистемой (К-расширением)
данной системы Â будем называть
систему из класса К , являющуюся подсистемой (расширением)
 . Класс К назовем абстрактным,
если вместе с каждой алгебраической системой К
содержит ей изоморфные алгебраические системы.
Системы Â = <М;s > и Â
1= <М1;s > назовем элементарно
эквивалентными, если для любого предложения Á сигнатуры s такая, что
 ╞ Á Û Â 1 ╞ Á
1.
Отображение j : М® М1 назовем элементарным, если для любой формулы Á
(х1,…,хп)
и любых m1,…,mn Î M
 ╞ Á (m1,…,mn)
Þ Â 1( j (m1),…, j (mn)).
Система Â называется элементарно
вложимой в Â 1, если существует элементарное
отображение Â в Â 1.
 называется элементарной подсистемой  1, а Â
1 – элементарным
расширением Â , если:
(а) Â - подсистема Â
1,
(б) тождественное отображение Â в
 1
является элементарным.
Пусть Â = <M; s
> есть подсистема системы Â 1. Говорим,
что Â есть подсистема, порожденная множествомАÍ М, если Â есть наименьшая подсистема,
содержащая множество А.
Подмоделью алгебраической системы
 = < M; s > называется любая подмодель модели  1 = < M; s 1
>, где s 1
получается из s
заменой всех функциональных символов fn на предикатные символы Pfn+1 и Â 1╞fn+1(m1,…
, mn , mn+1)Û Â
╞ (f(m1,…,mn) = mn+1). P
Диаграммой алгебраической системы Â = < M ; s > называется множество D(Â
), составленное из всех истинных в Â
атомных предложений, относящихся к системе Â , и их отрицаний:
D (Â ) = { Pn(m1,…,mn)
| Pn Î s , m1,…,mn
Î M ,
 ╞Pn (m1,…,mn)} U {ù Pn (m1 ,
…, mn) | Pn Î s
,
m1, …, mn Î M , Â ╞ ù Pn (m1,…, mn) }.
Полной диаграммой алгебраической
системы Â = < M ; s
> называется множество FD (Â ) всех истинных в Â
предложений сигнатуры s , относящихся к системе Â
|
