|
§ 8. Фильтрованные произведения.
Фильтром над множеством I называется произвольный фильтр на
булевой алгебре R (I
) , т.е. непустое множество D множества P(I),
удовлетворяющее условиям:
(а) если X, Y Î D, то (X Ç Y) Î D;
(б) если X Î D, X Í
Y Í I, то Y Î D;
(в) Æ Î D.
Фильтр D,
удовлетворяющий условию
(г) для всех X Í I X Í
D или ( I \ X )Î
D,
называется ультрафильтром над I. Фильтр D
называется главным, если он
содержит наименьший элемент. Фильтр D называется счетно полным,
если для любой счетной системы элементов D её
пересечение принадлежит D.
Пусть I = m ³ N 0 . Фильтром Фреше над I называется любой фильтр над
I, содержащий Ф={X | X Í I и I \ X < m}.
Пусть Â 1= á
М1 ; s ñ и Â 2=
á М2 ; s ñ ¾ алгебраические системы. Отображение
j : M
1® M 2 называется гомоморфизмом
из Â 1 в
 2, если
для любых b1 ,… , bn Î
M1:
(а) Â 1¦ Pn (b1 ,…
, bn ) Þ Â 2¦
Pn ( j (b1),…, j
(bn)) для любого
предикатного символа Pn Î s ;
(б) j ( Fn (b1 ,… , bn))
= Fn ( j (b1), …, j
(bn) ) для любого
функционального символа FnÎ
s ;
(в) j (а)=а для
любой предметной константы а Î s
Гомоморфизм j : Â 1 ® Â
2 назовем сильным, если
выполняется
(г) если Â 2 ╞ R
n ( j (b1),…, (j
(bn)), то существуют b1’,…,
bn’ Î M
1 такие, что j
(b1)= j (b1’) ,…,
j (bn) = j (bn’)
и Â 1
╞ R n (b1’ ,…, bn’).
Взаимно однозначное соответствие j
между М1 и М2 назовем изоморфизмом
между Â 1 и
 2, если j и j-1 ¾ гомоморфизмы.
Если Â 1 изоморфна
 2, то
пишем Â 1 ~ Â 2.
Пусть {Â i}iÎ I ¾ семейство алгебраических систем
сигнатуры s , Mi ¾ основные
множества Â i.
Прямым произведением систем Â i (i Î I ) назовем
алгебраическую систему   , где:
(а) для каждого предикатного символа Pn
Î s
 ╞ Pn(f1,…,fn) Û Â i╞ Pn( f1(i),…,
fn(i) )
для каждого i Î I ,
(б) для каждого функционального символа Fn
Î s
Fn( f1,…, fn) (i) = Fn ( f1(i),
…, fn(i)),
(в) для каждой предметной константы а Î s а(i)=a.
Пусть D – фильтр над I. Определим на  отношение f~D g Û
{ i | f(i) = g(i)} Î D, и
пусть f | D = {g | f~Dg},  = { f /
D|f Î }. Полагаем для n-местного
предикатного символа Pn из s
Pn(f1/D,…, fn/D) = u Û {i|Â i╞ Pn (f1(i),…,fn(i))}
Î D,
для n-местного
функционального символа Fn из s
Fn(f1/D,…, fn/D) = Fn(f1,…,fn)/D
и для предметной константы а из s
a = a / D.
Система Â = /
D = á  /D; s
ñ с так
определенными предикатами и функциями
называется фильтрованным (или приведенным) произведением Â i по фильтру D.
Если D –ультрафильтр, то
/ D называется ультрапроизведением: если все Â i
совпадают и равны Â
, то /
D называется ультрастепенью
 и обозначается  I/D.
|
