Глава 2. Отношения

§ 2. Графические представления

При решении задачи па первом этапе часто полезно начертить “рисунок” для того, чтобы более ясно увидеть компоненты задачи. Особенно это полезно для описания отношений, так как записанные в виде множества упорядоченных пар отношения нелегко расшифровываются.

Отношения — это множества, обладающие определенной структурой; их элементы имеют несколько компонент, и поэтому, в принципе; мы можем использовать диаграммы Венна для их изображения. Хотя этим методом и можно воспользоваться, особенно при описании некоторых больших множеств чисел, существуют методы, которые более эффективны в общих ситуациях (включающих, в частности, бинарные отношения на небольших множествах). В этом параграфе мы кратко рассмотрим некоторые из них. Для описания этих методов используем множество

 Х = {о, Ь, с, Л

и отношения Ix, Us и Д, где

Л-{(д,Ь), (а, с), (b,d), (с,е), (е,Ъ)).

Глава 1. Множества

§ 4. Подмножества и доказательства

Операции пересечения, объединения, разности и дополнения позволяют нам формировать новые множества. Однако, как правило, мы не можем сказать, как одно множество соотносится с другими. Например, пусть даны два множества Х и Y; пересечение Х П Y в некотором смысле “меньше” (или по крайней мере не больше), чем X. Действительно, все элементы множества Х Л Y принадлежат также множеству X, Из этого наблюдения можно формально определить равенство множеств п различных выражений для того же самого множества, С по

мощью этих определений мы также в состоянии написать подходящие логические доказательства важных фактов, относящихся к множествам. Эти результаты, хотя и очевидны, обеспечивают подходящие ситуации, в которых можно ввести некоторые из основных способов доказательств, используемых в дальнейшем.

Глава 1. Множества

§ 3. Диаграммы Венна

Уже можно было заметить некоторые специфические свойства операций над множествами, в особенности то свойство, что одно и то же множество может быть определено различными путями. Далее в этой главе мы обсудим способы доказательства этих свойств формальным путем, однако часто полезно иметь геометрические представления множеств. Такие представления не могут заменить доказательства, но могут быть полезны, чтобы быстро и просто убедиться, справедливо ли конкретное утверждение и, следовательно, доказательство его возможно или же оно неверно. В этом случае можно заметить, как следует строить пример, чтобы доказать, что оно неверно. Диаграммы, которые мы будем использовать, называют диаграммами Венна (по имени английского математика Джона Венна) и строят, как это описано ниже.

Во-первых, начертим большой прямоугольник, представляющий 8 (рис. 1.1). Во-вторых, начертим круги (или какие-либо другие подходящие замкнутые кривые) внутри прямоугольника, чтобы представить множества. Они должны пересекаться в наиболее общем случае, требуемом в задаче, и должны быть соответствующим образом обозначены (рис. 1.2). Точки, которые лежат внутри различных областей диаграммы, сейчас могут рассматриваться как элементы соответствующих множеств. Если число элементовв множествах мало, тогда отдельные элементы могут быть записаны внутри подходящих областей, как это показано в примере 3.1.

Глава 1. Множества

Как мы видели из рассмотрения “ошибочного множества” F в примере 1.1 необходимо проявлять внимательность при определении множества. Тем не менее, строя новые множества из старых по простым правилам, можно безопасно получить много интересных примеров.

Позднее будут выписаны формальные правила, которым должны удовлетворять операции с множествами, а сейчас введем некоторые обозначения. Начнем с простейших операций.

Определение. Пусть даны множества А и В. Пересечением множеств А и В называется множество всех элементов, принадлежащих А и В, и обозначается А Л В; таким образом,

 А Л В == [х: х e A и х е B}.

Аналогично объединение А а В обозначается A U В и определяется следующим образом:

 А U B == {x: x е A или x е B }.

Значения этих обозначений нетрудно запомнить, но иногда бывают ошибки. Один из путей запомнить, какой символ обозначает какую операцию,— объединить символы в слова и записать “ Пересечение” и “Oбъединение”. Эти определения выводятся из слов “и” и “или”, и, как следствие, мы имеем

A U B == B U A, А П В ==В П А и, что, вероятно, менее очевидно,

A U A ==A, A П A==A.

Эти тождества важны по двум причинам. Во-первых, из дальнейших математических рассуждений будет видно, что иногда следует сводить А U А (соответственно А Л A), к А или, наоборот, расширять А до Л U Л (соответственно A П A). Во-вторых, можно не обратить на это внимание из-за того, что, выраженные словами, эти тождества могут казаться лишенными смысла даже тогда, когда они логически верны.

ГЛАВА 1 МНОЖЕСТВА

§ 1. Множества и их спецификация

Как уже отмечалось во введении, нам хотелось бы построить математическую теорию достаточно строго, однако при этом возникают некоторые трудности с обосно-ванием. Вместо этого мы начнем с описания таких начальных понятий, как множество. Хотя материал может показаться простым, это делается для того, чтобы читатель мог свободно разобрать примеры, приведенные в конце параграфа.

Множество — это совокупность определенных различаемых объектов таких, что для любого объекта можно установить, принадлежит этот объект данному множе-ству или нет.

Множество, которое подчиняется лишь такому ограничению, может содержать объекты почти любой природы. Например:

— множество всех подземных станций Лондона;

— множество левых ботинок;

— множество натуральных чисел: 1, 2, 3, 4 и т. д.;

— множество символов, доступных специальному печатающему устройству;

— множество кодов операций конкретного компьютера;

— множество зарезервированных слов языка Паскаль. В конечном счете нас будут интересовать следующие множества:

— множество идентификаторов, встречающихся в определенной программе;

— множество операций в той же самой программе;

—- множество операций, которые могут быть выполнены после данной инструкции в той же программе.

ВВЕДЕНИЕ

Книга в основном представляет собой курс лекций до компьютерной математике для университетов и институтов; однако она также может быть полезной для специалистов, работающих в этой области и желающих получить более глубокие знания предмета.

Книга содержит материал из тех областей современной математики, которые имеют отношения к вычислениям, и, как следствие, обеспечивает читателя средством для сжатого и точного описания многих проблем компьютерной науки. Несмотря на нашу приверженность излагать материал, непосредственно относящийся к компьютерной науке, в книге сделана попытка дать его разумное и строгое представление, приемлемое с математической точки зрения. Изложение по возможности носит конструктивный характер. Везде, где возможно, в каждой новой теме используются понятия и термины из предыдущих тем; материал сопровождается многочисленными упражнениями и примерами. Следует подчеркнуть, что разбор примеров и решение упражнений являются составной частью изучения предлагаемого материала.

Преследуя эту цель, мы должны с чего-то начать. Нашим исходным неопределяемым понятном является понятие множества, описываемое перечислением свойств, которыми оно обладает. Исходя из этого, можно определить все последующие понятия конструктивным и математически приемлемым образом. Такой подход необходим, поскольку любую ошибку легко можно проследить, вернувшись назад к неправильному предложению где-то в цепочке рассуждений. Это также означает, что часть пли же вся рассматриваемая теория может быть запрограммирована.

 Шпаргалки

48. Католицизм: сущность, особенности, роль в культуре.

В связи с распадом Римской империи христианский мир был разделен на две части -Оставшаяся часть Римской империи с центром в Риме и Византийская империя с центром в Костантинополе. С разделом Римской империи произошел и раздел христианской церкви на католическую,  начале которой был папа Римский и православную с патриархом костантинопольским. Папа Римский считался наместником бога на земле. Для католической церкви характерна жестокая церковная иерархия. Папа - кардинал - Епископ. Церковная власть в средневековой западной Европе была выше государственной, она активна занималась политикой (папа Римский давал или не давал согласие на брак королей и др.), экономикой. Огромное количество земель принадлежало церкви и монастырям. Епископы взяли на себя роль отпускать грехи совершенные или которые будут совершены, продавая индульгенции.

В период зарождения капитализма в Западной Европе в результате реформации 1517 г. в католицизме зарождаются  течения протестантов, лютеран и др. Протестанты отрицают посредничество священников в общении человека с богом, запрещают продажу индульгенций, отнимают часть земель у церкви. Духовной частью культуры в средние века в Западной Европе была католическая религия, которая оказывала огромное влияние и на науку и на искусство, регламентировало жизнь в целом.